高二數學大題？1 a 2 + 9 4b 2 =1 c a = 1 2 a 2 =b 2 +c 2 .解得a 2 =4，b 2 =3，故橢圓C的方程為 x 2 4 + y 2 3 =1．（Ⅱ）若存在直線l滿足條件，由題意可設直 線l的方程為y=k（x-2）+1，那么，高二數學大題？一起來了解一下吧。
雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)具有性質：若P,Q是雙曲線上關于原點O對稱的兩點,點R是雙曲線上任意一點,當直線PR,QR的斜率都存在,并記絕野悔為k1,k2,則k1·k2是并正與點R位置無關的定值。
證明：設P為(m,n),則Q為(-m,-n),又設R為(x,y)，
∵x2/a2-y2/b=1,m2/a2-n2/b2=1,
兩脊液式相減,得：(x-m)(x+m)/a2-(y-n)(y+n)/b2=0,
∴k1=(y-n)/(x-m)=b2(x+m)/a2(y+n)，
同理可得k2=(y+n)/(x+m)=b2(x-m)/a2(y-m)，
∴k1·k2=b2·b2(x2-m2)/a2·a2(y2-n2)
=b2·a2(y2-n2)/a2·a2(y2-n2)=b2/a2(定值)。
1、根據題意可設橢圓方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),
因為拋物線x2告哪咐=4y,所以拋物線的焦點為（0，1）,所以b=1
因為e=√2/2，所以c/a=√2/2,所以a2=2
所以橢圓緩搭方程為x2/2+y2=1
2、設M(x1,y1)、N(x2,y2),將y=x+m代入橢圓方程，可得3x2+4mx+2m2-2=0,
所以x1+x2= -4m/3,x1x2=(2m2-2)/3
所以AB=√2* ︱x1-x2︱=4√(3-m2) /3（-√3 而△OMN的高即原點到直線的距離，等于︱m︱/√2 所以S=1/2*︱m︱/√2*4√(3-m2) /3=√2/3*√[-(m2-3/2) 2+9/4] ≤√2/3*3/2=√2/2, 此時m=√6/2或-√6/2 高二數學試題（理科） (考試時間：120分鐘 總分：160分) 命題人：朱占奎 張圣官 展國培 張敏 審題人：丁鳳桂 石志群 注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效． 參考公式：數學期望：E(x)? 方差：V(x)??[x?E(x)]?xp， ii i i?1 i?1 n n 2 pi??xi2pi?[E(x)]2 i?1 n 一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請將答案填入答題紙填空題的相應答題線上．） 1．復平面內，復數z?1?i所對應的點在第 2．命題“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是． 23．已迅旅知?1?2x??a0?a1x?a2x? 10 ?a10x10，則a0?a1?a2?a3??a01? 4．寫出命題“若abc?0，則b?0”的逆否命題：． 5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，則甲、乙相鄰的不同排法種數是．（用數字作答） 6．若復數z滿足z?1?i?1，則復數z的模的值是． 7．命題：若x12?y12?1，則過點?x1,y1?的直線與圓x?y?1有兩個公共點．將此命題 2 2 類比到橢圓x?2y?1中，得到一個正確命題是 ▲ ． 8．某人每次射擊命中目標的概率為0.8，現連續射擊10次，設擊中目標的次數為X， 則E?X?= ▲ ． 9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;請寫出第100個等式： ▲ ． ，按此規律 22 2?i201510．已知復數z1??1?i??2i?1?和復數z2?m?，當m為 ▲ 時，z1?z2． 1?i x?13 11．已知4C17，則x?． ?17C16 11111n?1 12．在用數學歸納法證明“對一切大于2的正整數n，?????n?” 246824 的過程中，從n?k到n?k?1時，左邊增加的項數為 ▲ ． 13．學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔任辯論賽中的一、二、三、四辯手， 其中男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手．現要求：如果男生甲入選， 則女生乙必須入選．那么不同的組隊形式有 ▲ 種．（用數字作答） nn?1n?2 14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x? n ?mnx?mn?1，其中n?N*,a為常數．則 下列所有正確命題的序號是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3, ； ,mn?1中存在負數”的一個充分條件是“a??1” ⑵若n?5，則“1?a?2”是“m4為m1,m2,m3,條件； ,m6中的一個”的必要不充分 ⑶若n?5，則“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3個成立”的充要條件是“1?a?2”； ⑷若a?0，則“n是4的倍數”是“m1?m2?m3 mn?1?0”的充分不必要條件． 二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解嘩培答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．） 15．（本題滿分14分） 已知圓C：x?y?1在矩陣M??⑴求曲線C1的方程； ⑵求逆矩陣M； ⑶求矩陣M的特征值和特征向量． 16．（本題滿分14分） 已知直線l過點P?4,0?，且傾斜角為⑴求直線l的極坐標方程； ?1 22 ?20? ?所對應的變換作用下變為曲線C1． 01?? 3π ． 4 12?x?t??8 ⑵求直線l被曲線C:?（t為參數）截得的弦長． ?y?1t??2 17．（本題滿分14分） 一個盒子內裝有形狀和大小完全相同的3個紅球和n個白球，事件“從中取出兩個球，恰好有一個紅球”發生的概率為p． ⑴若p? 4， 7 ①求從盒子內取出3個球中至少有一個紅球的概率； ②設X為取出的4個球中紅球的個數，求X的數學期望E?X?和方差V?X?． ⑵求證：p? 3； 5 18．（本題滿分畝蘆凳16分） a2 和g?x??x?2ax?2． x ⑴命題p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命題q:函數g?x?在?2,???上單調遞增．若p和q都是真命題，求實數a的取值范圍； 已知函數f?x??x?⑵設F?x??? ??f?x?,x?2 ，若對?x1??2,???，總存在x2????,2?，使得 ??g?x?,x?2 F?xF?2?x成立，求實數a的取值范圍． 1?? 19．（本題滿分16分） 設集合A,An,1,A2,A3, 中元素的個數分別為1,2,3,,n, ．現從集合 An,An?1,An?2,An?3中各取一個元素，記不同取法種數為f(n)． ⑴求f(1)； ⑵是否存在常數a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)對任 * 意n?N總成立？若存在，請求出a,b的值，并用數學歸納法證明；若不存在，請說明理 由． 20．（本題滿分16分） 已知等差數列{an}的公差為d，且(a1x?d)5的展開式中x與x的系數之比為2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展開式中二項式系數的項； ⑵設[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2? 2 3 ?b2n(x?2)2n，n?N*，求 a1b1?a2b2??a2nb2n； an?1 ⑶當n?2時，求證：(an?1) ?11?16n?8n4． 2014～2015學年度第二學期期末聯考 高二數學試題（理科）參考答案 1．四 2．?x?R，2sinx?1總成立 3．1 4．若b?0，則abc?0 1 2222 7．若x1?2y1?1，則過點?x1,y1?的直線與橢圓x?2y?1有兩個公共點 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50 k?1 10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷ ?,y0?)，則 15．解：⑴設P(x0,y0)為圓C上的任意一點，在伸壓變換下變為另一點P?(x0 5．12 6． ???20??x0??x0 ?y????01??y?， ??0??0??x????2x0?x0?x0?0 即?，所以，?2 ??y0?y0???y0?y0 ?2x0 ?2?1． ?y0又因為點P在曲線x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222 ?y2?1．…………4分 即圓C：x?y?1在矩陣M對應的伸壓變換下變為橢圓：4 ?xy??20??xy??10? ⑵設矩陣M的逆矩陣為??，則?01??zw???01?， zw???????? 1?x??2 ?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0 ? ?w?1?1? 0?1 ?． …………8分 從而所求的逆矩陣M??2?01??? ??20 ⑶矩陣M的特征多項式為f(?)??(??2)(??1)， 0??1 令f(?)?0，解得矩陣M的特征值?1?2，?2?1． …………10分 ?(??2)x?0?y?0 將?1?2代入二元一次方程組? ?0?x?(??1)y?0 解得y?0，x可以為任何非零實數，不妨記x?k,k?R，且k?0． ?1? 于是，矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量為??． …………12分 ?0? ?(??2)x?0?y?0 將?2?1代入二元一次方程組? ?0?x?(??1)y?0 解得x?0，y可以為任何非零實數，不妨記y?m,m?R，且m?0． ?0? 于是，矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為??． ?1? ?1??20? ??2??1因此，矩陣M??的特征值為，，分別對應的一個特征向量是，12??? ?0??01? 2 2 2 020 ?0? ?1?． …………14分 ?? 16．解：⑴設直線l上任意一點為Q(?,?)， 如圖，在?POQ中，由正弦定理得 OQOP ? sin?OPQsin?OQP 3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直線的極坐標；12⑵應用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋；直線l的普通標方程是x?y?4；設直線l與曲線的交點記作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直 -------------------------------------------------------------------------------- 3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44 3???)?22． …………7分 所以，直線的極坐標方程是?sin(4 12⑵應用代入消元法，得x?(2y)， 8 因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋物線． 直線l的普通標方程是x?y?4 設直線l與曲線的交點記作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8聯立成方程組，得?，?或?， ?x?y?4?y1?2?y2??4 AB?(8?2)2?(?4?2)2?62 所以，直線l被曲線截得的弦長為62． …………14分 17．解⑴記“從中取出兩個球，恰好有一個紅球”為事件A 113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67 故n?4． …………2分 ①事件“從盒子中取出3個球中至少有一個紅球”是事件“從盒子中取出3個球都是白球”的對立事件，記“從盒子中取出3個球中至少有一個紅球”為事件B，則記“從盒子中取出3個球都是白球”為B． 3C44P(B)?3?， C735 31． 35 31答：從盒子中取出3個球中至少有一個紅球的概率為． …………6分 35 ②用隨機變量X為取出的4個球中紅球的個數，則X服從超幾何分布H(4,3,7)． 隨機變量X的可能值有4種，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根據對立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)? 4C41 P(X?0)?4?C735 13C3C412P(X?1)?? 435C7 2C32C418 P(X?2)??435C7 6 31C3C44 P(X?3)??435C7 隨機變量X 1?1??2??3???． 從而E(X)?0?35353535357 n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1 2414424???． 49749 1224答：隨機變量X的數學期望為，方差為 …………10分 749 11C3Cn3n6n6???⑵證法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n 63?記f(n)?n?,n?N當n=2或3時取最小值為5，P?． …………14分 n5 證法二：反證法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65 33*因為n?N，所以不存在正整數n，滿足P?．因此，P?． …………14分 55假設P? 18．⑴命題p:不等式x? 2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立， 即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2 即a?0． …………2分 命題q:函數g?x??x?2ax?2在?2,???上單調遞增 2 即a?2． 若p和q都是真命題，則0?a?2． 所以，實數a的取值范圍是?0,2?． …………4分 a在x??2,???上的值域記作集合M， x g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域記作集合N， 由題意可得，M?N． ⑵f(x)?x? 7 （?。┊攁?0時，滿足M?N， …………5分 （ⅱ）當a?0或0?a?2時，x??2,???f?(x)?0， a在x??2,???上單調遞增， x ?a?集合M???2,???， ?2? g?x??x2?2ax?2在???,a?上單調遞減，在?a,2?上單調遞增， 則f(x)?x? 集合N??a2?2,??， ?? a1?2，即a?0或a?? 22 1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2 （ⅲ）當2?a?4時，x??2,???時f?(x)?0， a?a?則f(x)?x?在x??2,???上單調遞增，集合M???2,???， x?2? g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調遞減，集合N??6?4a,???， 因為M?N，所以?a?2?2 4??2?a?a因為M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2? （ⅳ）當a ?4時，x??時f ?(x)?0，x???時f?(x)?0 ?? 則f (x)的單調減區間是?，單調增區間是??，集合M????， ? ? g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調遞減，集合N??6?4a,???， ?? 因為M?N，所以? 綜上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2 19．解：⑴從A1中取一個元素，有1種取法；從A2中取一個元素，有2種取法，依次類推，不同取法種數為4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3) 1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53 用數學歸納法證明如下： ①當n?1時，左邊?f(1)?24，右邊?1534?3?3??3?24 55 8 左邊?右邊，所以當n?1時命題成立； …………9分 ②假設當n?k時命題成立，即 14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55 則當n?k?1時，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1) 14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55 1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5 1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5 1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555 1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5 從而當n?k?1時，命題也成立． f(1)?f(2)? 綜上可知，原命題成立． …………16分 323220．解：(a1x?d)5的展開式中含x的項為C5a1dx?10a12d3x2，含x的項為23 10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123 解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6， 則(x?3)的展開式中二項式系數的項為T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，則[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n 01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1? 01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333 ?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2? ∴b1?b3?b5? ∴a1b1?a2b2? 12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn? 0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 則S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn? 9 nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn? 012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1 n?Cn)?2 ∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1 2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n) ∵n?2 ∴2n?4 ∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22 5?42n?C2 52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4 2?11?16n?8n4 10 16分 ………… （Ⅰ）設橢圓C的方程為 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a ＞b＞0)，由題意得以下方程組 1 a 2 + 9 4b 2 =1 c a = 1 2 a 2 =b 2 +c 2 . 解得a 2 =4，b 2 =3，故橢圓C的方程為 x 2 4 + y 2 3 =1． （Ⅱ）若存在直線l滿足條件，由題意可設直 線l的方程為y=k（x-2）+1， 由 x 2 4 + y 2 3 =1 y=k(x-2)+1 得（3+4k 2 ）x 2 -8k（2k-1）x+16k 2 -16k-8= 0． 因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B ，設A，B兩點的坐標分別為（x 1 ，y 1 ）， （x 2 ，y 2 ）沖隱山， 所以△=[-8k（2k-1）] 2 -4?（3+4 k 2 ）?（16k 2 -16k-8）＞0． 整理得32（6k+3）＞0． 解得k＞-1 2 ． 又x 1 +x 2 = 8k(2k-1) 3+4k 2 ，攜野x 1 x 2 = 16k 2 -16k-8 3+4k 2 ， 且 PA ? PB = PM 2 ，即(x 1 -2)(x 2 -2)+(y 1 -1)(y 2 -1)= 5 4 ， 所以(x 1 -2)(x 2 -2)(1+k 2 )=|P M| 2 = 5 4 ．即[x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 )+4] (1+k 2 )= 5 4 ． 所以[ 16k 2 -16k-8 3+4k 2 -2 8k(2k-1) 3+4k 2 + 4](1+k 2 )= 4+4k 2 3+4k 2 = 5 4 ，解得k=± 1 2 ． 所以散中k= 1 2 ．于是存在直線l滿足條件，其的 方程為y= 1 2 x． 解：由題意得：曲線段C為拋物線的一部分 且點N為睜敗焦點，L2為準線 以MN中點為原點O，以過O與L2平行的直線為Y軸，以L1為X軸，建立平面直角坐標系 由于拋物線焦點在X軸右側，則設拋物線：y^2=2px (p>0) 則：N(p/2,0),M(-p/2,0),L2:x=-p/2 過A作AA'垂直L2于A' 則由拋物線定義知：AA'=AN=3 則Rt三角形橡早雹AMA'中，A'M=2√2 則yA=2√2 過A作AP垂直X軸于P，則AP=2√2 則：PM=√[AM^2-AP^2]=3,NP=√[AN^2-AP^2]=1 則：PM+NP=p=4 則拋物線：y^2=8x 又：xA-(-p/2)=PM 則:xA=1 因為xB-(-p/2)=BN=6 則：xB=4 則梁帆：曲線段C的方程：y=2√(2x) [1= 以上就是高二數學大題的全部內容，10、已知圓C：x2+y2一2x＋4y一4＝0,直線l：2x＋y＝0，則圓C上的點到直線1的距離*大值為（）A、1B、2C、3D、4 二、填空題（請*恰當的答案填在答卷上，每小題4分，共20分）11、___12、以（-2。高二數學題庫及答案
清華最難奧數題
數學題100道高二
