高中數(shù)學(xué)均值不等式？..那么，高中數(shù)學(xué)均值不等式？一起來(lái)了解一下吧。
平方平均>=算術(shù)平均>=幾何平均>=調(diào)和平均
舉個(gè)三個(gè)數(shù)的例子，即：
[√(a^2+b^2+c^2)]/3 >= (a+b+c)/3 >= 三次根號(hào)下(abc) >=3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)]
證明：分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)2＝(1+1+1)(1+1+1)=9 ∴原不等式成立。
用數(shù)學(xué)歸納法可以做,下面作數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=1時(shí),由x≠1得（1+x)·(1+x)>1+x^2+2x>2x+2x=4x=2^2·x,不等式成立,假設(shè)不等式對(duì)任意n成立,下面考慮n+1時(shí)的情況
（1+x^(n+1))·(1+x)^(n+1)>（1+x^n)·(1+x)^n·(1+x^(n+1))·(1+x)/（1+x^n)>2^(n+1)·x^n·(1+x^(n+1))·(1+x)/（1+x^n)(1)
由x≠1得(x-1)(x^(n+1)-1)>0,1+x^(n+2)>x+x^(n+1),(1+x^(n+1))·(1+x)>2x(1+x^n),故得
(1+x^(n+1))·(1+x)/(1+x^n)>2x,
代入(1)式得
（1+x^(n+1))·(1+x)^(n+1)>2^(n+1)·x^n·2x=2^(n+2)·x^(n+1)
即（1+x^(n+1))·(1+x)^(n+1)>2^(n+2)·x^(n+1)
n+1時(shí),不等式成立,完成了數(shù)學(xué)歸納法證明.
你會(huì)用到均值不等式推廣的證明，估計(jì)是搞競(jìng)賽的把 對(duì)n做反向數(shù)學(xué)歸納法 首先 歸納n=2^k的情況 k=1 。 k成立 k+1 。 這些都很簡(jiǎn)單的用a+b>=√(ab) 可以證明得到 關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法 如果n成立 對(duì)n-1， 你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1) 然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。 所以得證 n=2^k中k是什么范圍 k是正整數(shù) 第一步先去歸納2，4，8，16，32 ... 這種2的k次方的數(shù) 一般的數(shù)學(xué)歸納法是知道n成立時(shí)，去證明比n大的時(shí)候也成立。 而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下，對(duì)比n小的數(shù)進(jìn)行歸納，
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù)：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時(shí)取“=”號(hào)
均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當(dāng)r不等于0時(shí));
(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時(shí)）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
則有：當(dāng)r
以上就是高中數(shù)學(xué)均值不等式的全部?jī)?nèi)容。
