高中數(shù)學(xué)數(shù)列不動點法？當(dāng)n很大時，an其實很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）構(gòu)成不動點。于是原始轉(zhuǎn)化為x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是數(shù)列an就是以A為公比的，那么，高中數(shù)學(xué)數(shù)列不動點法？一起來了解一下吧。
不動點法在求解數(shù)列通項公式時展現(xiàn)出其獨特優(yōu)勢，其核心在于通過轉(zhuǎn)化與構(gòu)造，找到數(shù)列的“不動點”，即使得數(shù)列某項值等于其前一項值的特定項。本文將詳細梳理不動點法求解數(shù)列通項公式的技巧，涵蓋多種模型與實例。
一、不動點法的基礎(chǔ)
不動點法的核心思想在于將遞推公式轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的通項公式，或者通過待定系數(shù)法和逐步相減法求解。對于形如[公式]的遞推公式，若其滿足特定形式，則數(shù)列可以被轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。對于形如[公式]的遞推公式，借助待定系數(shù)法和逐步相減法，通過構(gòu)造新數(shù)列實現(xiàn)求解。
二、不動點法的應(yīng)用模型
模型1：對于形如[公式]的遞推公式，首先判斷是否為等差或等比數(shù)列，然后采用待定系數(shù)法或逐步相減法求解。待定系數(shù)法中，尋找數(shù)列的不動點，即[公式]，從而構(gòu)造新數(shù)列求解。逐步相減法則通過兩式相減，得到新的數(shù)列，進而求解。
模型2：針對形如[公式]（其中[公式]）的遞推公式，使用倒數(shù)法求解。通過取倒數(shù)構(gòu)造新數(shù)列，分析其等差或等比性質(zhì)，進而求解。對于滿足特定條件的數(shù)列，采用不動點法求解，找到數(shù)列的不動點，從而簡化求解過程。
模型3：對于形如[公式]的遞推公式，通過求解特征方程[公式]找到數(shù)列的通項公式。其中，若特征方程的根為兩個不等的實數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列；若根為一個實數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列；若根為復(fù)數(shù)，則數(shù)列可能為周期數(shù)列。
當(dāng)f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。
我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復(fù)雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的兩個根為x1，x2，
若x1=x2
則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表達式記住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
簡單地說就是在遞推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后構(gòu)造數(shù)列.（但要注意，不動點法不是萬能的，有的遞推式?jīng)]有不動點，但可以用其他的構(gòu)造法求出通項；有的就不能求出）
我還是給幾個具體的例子吧：
1。
數(shù)列 {a(n)}，設(shè)遞推公式為 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，則其特征方程為 x^2-px-q=0 .
若方程有兩相異根 A、B，則 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始條件確定，下同)
若方程有兩等根 A=B，則 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分內(nèi)容的證明過程：
設(shè) r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韋達定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根，也就是剛才說的特征根。
然后進一步證明那個通項公式：
如果r=s，那么數(shù)列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 為首項、r 為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
兩邊同時除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等號右邊的是個常數(shù)，說明數(shù)列{a(n)/r^n} 是個等差數(shù)列。
本文專為高中數(shù)學(xué)學(xué)生準備，旨在清晰解釋數(shù)列的不動點法。數(shù)列與函數(shù)間的關(guān)系猶如臺灣與中國的關(guān)系，不可分割。函數(shù)原理中，給定的數(shù)x經(jīng)過映射后變?yōu)閒(x)，這就像照鏡子看到自己的后背，形象地稱為“不動點”，意味著函數(shù)映射后結(jié)果與原數(shù)相同。
構(gòu)造函數(shù)f(x)時，通過分解和提取公因式，可以發(fā)現(xiàn)不動點的性質(zhì)，進一步幫助我們識別數(shù)列類型。例如，若存在不動點x，則數(shù)列為等比數(shù)列；若無不動點，則數(shù)列為等差數(shù)列。
數(shù)列求通項公式時，遇到特定結(jié)構(gòu)如an = f(an-1)的類型，可以考慮使用不動點法。以類型1為例，即an = c*an-1 + d，通過尋找不動點，能判斷數(shù)列的性質(zhì)。若存在不動點，數(shù)列為等比數(shù)列；若不存在，則為等差數(shù)列。
在具體問題中，令an = c*an-1 + d，求解不動點，得到等比數(shù)列的通項公式an = ar^n + b。對于類型2的分式結(jié)構(gòu)問題，通過變形后求解不動點，能確定數(shù)列的等比性質(zhì)。若不動點存在一個或兩個，則數(shù)列為等比或等差數(shù)列，具體情況需要根據(jù)題設(shè)條件來判斷。
以上解釋中，通過舉例說明，直觀展示了如何應(yīng)用不動點法解決高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題。這一方法既簡潔又高效，是解決數(shù)列求通項問題的重要技巧之一。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列特征根的原理是韋達定理：
對于形如a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)的式子，總是存在 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] ，化簡得 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) ，即s+r=p，sr=-q，由韋達定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根，也就是特征根。
不動點法解通項公式的原理是極限思想：
對于形如a(n+1)=Aan+B的式子，
當(dāng)n很大時，an其實很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）構(gòu)成不動點。于是原始轉(zhuǎn)化為x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),
即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是數(shù)列an就是以A為公比的，是首項a1-B/(1-A)的數(shù)列，于是就可以求出通項公式了。
樓主，原創(chuàng)思想啊，望采納??！
以上就是高中數(shù)學(xué)數(shù)列不動點法的全部內(nèi)容，遞推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)（n∈N*，A,B,C,D為常數(shù)，C不為0，AD-BC不為0，a1與a2不等）其特征方程為x=(A*x+B)/(C*x+D)特征方程的根稱為該數(shù)列的不動點 這類遞推式可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有兩個不等的根α、β，內(nèi)容來源于互聯(lián)網(wǎng)，信息真?zhèn)涡枳孕斜鎰e。如有侵權(quán)請聯(lián)系刪除。
