高中二項(xiàng)式定理公式？二項(xiàng)式公式為:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b++C(n,i)a^(n-i)b^i++C(n,n)b^n.二項(xiàng)式定理，又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664-1665年提出。那么，高中二項(xiàng)式定理公式？一起來(lái)了解一下吧。
二項(xiàng)式公式為:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.
二項(xiàng)式定理，又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664-1665年提出。
公式為:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n
式中,C(n,i)表示從n個(gè)元素中任取i個(gè)的組合數(shù)=n!/(n-i)!i!
擴(kuò)展資料：
此定理指出:
1、(a+b)^n的二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)。鍵鎮(zhèn)等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做二備搜項(xiàng)展開(kāi)式。
2、二仿亮歷項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(簡(jiǎn)稱(chēng)通項(xiàng))為C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"為角標(biāo))，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)(如下圖)，即n取i的組合數(shù)目。
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是T（r+1）=C（n，r)a^(n-r)b^rT（r+1）。
二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，項(xiàng)數(shù)：n+1項(xiàng)、第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C、在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等、如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)殲虧，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的的二項(xiàng)式系數(shù)最大，并且相等。
如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫作數(shù)列的通項(xiàng)公式。不是任何一個(gè)無(wú)窮數(shù)列都有通項(xiàng)公式，例如所有的質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公氏冊(cè)神式。
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(a+b)^n展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)是T(r+1) =C（n，r）a^（n-r）b^rT（r+1）表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，C（n，r）表示n個(gè)數(shù)中取r個(gè)數(shù)的組合，^表示次方，表示后面的數(shù)是前面的數(shù)的上標(biāo),次方的意思。
要了解二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，首先要了解二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式定理對(duì)（a+b）n進(jìn)行展開(kāi)得到的式子。二項(xiàng)展開(kāi)式是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)。在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，二姿簡(jiǎn)項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的項(xiàng)卻不一定是中間項(xiàng)。
二項(xiàng)式定理論述了(a＋b)n的展開(kāi)式.人們只要有初步的代數(shù)知識(shí)和足夠的毅力,便可以得到如下公式,
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等.對(duì)于(a＋b)12,人們顯然希望不必經(jīng)由(a＋b)十幾次自乘的冗長(zhǎng)計(jì)算,就能夠發(fā)現(xiàn)其展開(kāi)式中a7b5的系數(shù).早在牛頓出生之前很久,人們便已提出并解決了二項(xiàng)式的展開(kāi)式問(wèn)題.中國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝早在13世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式的秘密,但他的著作直到近代才為歐洲人所知.維埃特在其《分析術(shù)引論》前言的命題XI中也同樣論證了二項(xiàng)式問(wèn)題.但這一偉大發(fā)現(xiàn)通常是以布萊茲·帕斯卡的名字命名的.帕斯卡注意到,二項(xiàng)式的系數(shù)可以很容易地從我們現(xiàn)在稱(chēng)為“帕斯卡三角”的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在這個(gè)三角形中,每一個(gè)新增數(shù)字都等于其上左右兩個(gè)數(shù)字之和.因此,根據(jù)帕斯卡三角,下一行的數(shù)值為
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如,表值56就等于其上左右兩個(gè)數(shù)字21＋35之和.
帕斯卡三角與（a＋b）8展開(kāi)式之間的聯(lián)寬行系斗巧信是非常直接的,因?yàn)槿切蔚淖詈笠恍袛?shù)值為我們提供了必要的系數(shù),即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我們只要將三角形的數(shù)值再向下延伸幾行,就可以得到（a＋b）12展開(kāi)式中a7b5的系數(shù)為792.所以,帕斯卡三角的實(shí)用性是非常明顯的.
年輕的牛頓經(jīng)過(guò)對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的研究,發(fā)明了一個(gè)能夠直接導(dǎo)出二項(xiàng)式系數(shù)的公式,而不必再繁瑣地延伸三角形到所需要的那行了.并且,他對(duì)模式的持續(xù)性的固有信念使他認(rèn)為,能夠正確推導(dǎo)出諸如(a＋b)2或(a＋b)3
這種形式的二項(xiàng)式.
關(guān)于分?jǐn)?shù)指數(shù)和負(fù)數(shù)指數(shù)問(wèn)題,在此還需多說(shuō)一句.我們知道,在初等
這些關(guān)系.
以下所列牛頓的二項(xiàng)展開(kāi)式公式是他在1676年寫(xiě)給其同時(shí)代偉人戈特弗里德·威廉·萊布尼茲的一封信中闡明的（此信經(jīng)由皇家學(xué)會(huì)的亨利·奧爾登伯格轉(zhuǎn)交）.牛頓寫(xiě)道：
項(xiàng)式的“指數(shù)是整數(shù)還是（比如說(shuō)）分?jǐn)?shù),是正數(shù)還是負(fù)數(shù)”的問(wèn)題.公式中的A、B、C等表示展開(kāi)式中該字母所在項(xiàng)的前一項(xiàng).
對(duì)于那些見(jiàn)過(guò)現(xiàn)代形式的二項(xiàng)展開(kāi)式的讀者來(lái)說(shuō),牛頓的公式可能顯得過(guò)于復(fù)雜和陌生.但只要仔細(xì)研究一下,就可以解決讀者的任何疑問(wèn).我們首先來(lái)看,
出
也許,這種形式看起來(lái)就空輪比較熟悉了.
我們不妨應(yīng)用牛頓的公式來(lái)解一些具體例題.例如,在展開(kāi)(1＋x)3時(shí),
這恰恰就是帕斯卡三角的非列系數(shù).并且,由于我們的原指數(shù)是正整數(shù)3,所以,展開(kāi)式到第四項(xiàng)結(jié)束.
但是,當(dāng)指數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),又有一個(gè)完全不同的情況擺在牛頓面前.例如,展開(kāi)(1＋x)－3,根據(jù)牛頓公式,我們得到
或簡(jiǎn)化為
方程右邊永遠(yuǎn)沒(méi)有終止.應(yīng)用負(fù)指數(shù)定義,這一方程就成為
或其等價(jià)方程
牛頓將上式交叉相乘并消去同類(lèi)項(xiàng),證實(shí)
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛頓用等式右邊的無(wú)窮級(jí)數(shù)自乘,也就是求這無(wú)窮級(jí)數(shù)的平方,以檢驗(yàn)這一貌似奇特的公式,其結(jié)果如下：
所以
這就證實(shí)了
與牛頓原推導(dǎo)結(jié)果相同.
牛頓寫(xiě)道；“用這一定理進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算非常簡(jiǎn)便.”例如,假設(shè)我們求
現(xiàn)在,將等式右邊的平方根代入前面標(biāo)有（）符號(hào)的二項(xiàng)展開(kāi)式中的前6項(xiàng),當(dāng)然,此處要用29替換原公式中的x,因而,我
了前6個(gè)常數(shù)項(xiàng).如果我們?nèi)《?xiàng)展開(kāi)式中更多的項(xiàng),我們就會(huì)得到更加精確的近似值.并且,我們還可以用同樣的方法求出三次根、四次根,等等,
續(xù)演算.
別奇怪的.而真正令人吃驚的是,牛頓的二項(xiàng)式定理精確地告訴我們應(yīng)該采用哪些分?jǐn)?shù),而這些分?jǐn)?shù)則是以一種完全機(jī)械的方式得出的,無(wú)須任何特殊的見(jiàn)解與機(jī)巧.這顯然是一個(gè)求任何次方根的有效而巧妙的方法.
二項(xiàng)式定理是我們即將討論的偉大定理的兩個(gè)必要前提之一.另一個(gè)前提是牛頓的逆流數(shù),也就是我們今天所說(shuō)的積分.但是,對(duì)逆流數(shù)的詳盡說(shuō)明屬于微積分問(wèn)題,超出了本書(shū)的范圍.然而,我們可以用牛頓的話(huà)來(lái)闡述其重要定理,并舉一兩個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明.
牛頓在1669年中撰著的《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》一書(shū)中提出了逆流數(shù)問(wèn)題,但這部論著直到1711年才發(fā)表.這是牛頓第一次提出逆流數(shù)問(wèn)題,他將他的這部論文交給幾個(gè)數(shù)學(xué)同事傳閱.比如,我們知道,艾薩克·巴羅就曾看到過(guò)這部論文,他在1669年7月20日給他一個(gè)熟人的信里寫(xiě)道：“……我的一個(gè)朋友……在這些問(wèn)題上很有天分,他曾帶給我?guī)灼撐?”巴羅或《分析學(xué)》一書(shū)的任何其他讀者遇到的第一個(gè)法則如下.
設(shè)任意曲線(xiàn)AD的底邊為AB,其垂直縱邊為BD,設(shè)AB＝x,
BD＝y(tǒng),并設(shè)a、b、c等為已知量,m和n為整數(shù).則：
到x點(diǎn)之內(nèi)的圖形的面積.根據(jù)牛頓法則,這一圖形的面積為
按照牛頓公式,面積為12x2,對(duì)這一結(jié)果,可以很容易地用三角形面積公式
牛頓又進(jìn)一步說(shuō)明了《分析學(xué)》一書(shū)的法則2,“如果y值是由幾項(xiàng)之和組成的,那么,其面積也同樣等于每一項(xiàng)面積之和.”例如,他寫(xiě)道,曲
那么,牛頓所采用的兩個(gè)就是：二項(xiàng)式定理和求一定曲線(xiàn)下面積的流數(shù)法.他運(yùn)用這兩個(gè),可以得心應(yīng)手地解決許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)與物理問(wèn)題,而我們將要看到的是牛頓如何應(yīng)用這兩個(gè),使一個(gè)古老的問(wèn)題獲得了全新的生命：計(jì)算π的近似值.我們?cè)诘谒恼碌暮笥浿?追溯了這一著名數(shù)字的某些歷史,確認(rèn)了某些學(xué)者,如阿基米德、韋達(dá)和盧道爾夫·馮瑟倫在計(jì)算更精確的π近似值方面所作出的貢獻(xiàn).1670年左右,這個(gè)問(wèn)題引起了艾薩克·牛頓的注意.他運(yùn)用他奇妙的新方法,對(duì)這一古老問(wèn)題進(jìn)行研究,并取得了輝煌的成就.
二項(xiàng)式定理的一般形式如下：
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中，a和b是實(shí)數(shù)或變量，n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，C(n, k)表示組合數(shù)，表示從n個(gè)元素中改顫扮選擇核灶洞悉k個(gè)元素的組合數(shù)，計(jì)算公式為：
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
二次項(xiàng)定理 a+b)n次方＝C(n，0)a(n次方)+C(n，1)a（n-1次方）b（1次方）卜正+…+C（n，r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n，n)b(n次方)(n∈N*) C(n，0)表示從n個(gè)中取0個(gè)， 這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二次展開(kāi)式，其中的系數(shù)Cnr(r＝0，1，……n)叫做二次項(xiàng)系。
二項(xiàng)式定理
二項(xiàng)式定理，又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664年、1665年期間提出。輪豎
該定理給出兩個(gè)型桐悔數(shù)之和的整數(shù)次冪的恒等式。二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理。
以上就是高中二項(xiàng)式定理公式的全部?jī)?nèi)容，高中：二項(xiàng)式定理展開(kāi)式公式 二項(xiàng)式展開(kāi)公式:(atb) 'n=a n+c(n，1)a^(n-1)b+c(n，2)a^(n-2)b^2++C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n 二項(xiàng)展開(kāi)式是依據(jù)二項(xiàng)式定理對(duì)(a+b)n進(jìn)行展開(kāi)得到的式子。
